Elucubrando

Tomen R³. Digan que dos puntos son equivalentes si la linea que los une pasa por el origen.

Consideren ahora un plano P horizontal en el espacio y que no pase por el origen. ¿Que relación tiene con las clases de equivalencia? Piensen primero en un punto con z != 0. Su clase de equivalencia es la linea L que lo une con el origen. L no es horizontal (por que z != 0) así que tiene que cortar a P. Pero (0, 0, 0) no está en P, así que L no está contenida en P. Luego entonces, L corta a P en un único punto. Entonces, cada clase de equivalencia con z!= 0 corresponde a un punto en P, aquel en dónde L corta a P.

¿A que corresponde una linea dentro de P? Pues, cada uno de sus puntos es una linea L a travez del origen del espacio. Entonces la linea en P corresponde a un haz de lineas, todas por el origen. Y la intersección de ese haz con P es la linea original. Piensenlo un poquito y verán que entonces el haz tiene que ser por sí mismo un plano. Uno que pasa por el origen.

¿Qué hemos hecho hasta aquí? Hemos puesto en correspondencia los puntos de un plano P con lineas que pasan por el origen del espacio. Y las lineas de P con planos que pasan por el origen del espacio. ¿Qué pasa si las lineas en P se intersectan? Pues que los planos correspondientes también lo hacen, por supuesto.

Y, aquí viene lo bueno, ¿que pasa con dos lineas paralelas no colineales en P? No se cortan en P, por supuesto. ¿Y sus planos correspondientes? Tienen que cortarse, porque los dos pasan por el origen. Y dos planos que se cortan, lo hacen en una linea. ¿Dónde está esa linea? Tiene que existir y pasar por el origen. Pero no puede cortar a P. Y la única forma de lograr eso es que la linea sea horizontal. Es decir, está hecha de puntos con z=0, los que no consideramos arriba.

¿Que sale de todo esto? Sean L y L’ lineas en P, no colineales. Si son no paralelas, se cortan en un punto p. Y sus planos correspondientes se cortan en la linea correspondiente a p. Si son paralelas no se cortan. Pero sus planos correspondientes si lo hacen. En una linea que pasa por el origen. Y ya habiamos identificado que casi todas las lineas que pasan por el origen corresponden a puntos en P. Las únicas que nos faltaban eran, precisamente, las horizontales. ¿Por qué no entonces decir que las lineas horizontales corresponden a puntos en un ‘plano ampliado’? Uno con la maravillosa caracteristica de que todos los pares de lineas se cortan en un punto. Ese plano ampliado se llama plano proyectivo, el montón de puntos que añadimos (todas las lineas horizontales del plano) es la linea al infinito y el nuevo punto en el que se cruzan el par de lineas paralelas, ese es el punto al infinito del que habla damog.